En dos entradas anteriores hemos visto cómo cumplir unas restricciones propuestas para una mecánica concreta de un juego, el sistema de combate, y como justificar la elección de la solución que hemos adoptado. Ya sabemos que vamos a comparar números entre 1 y 6, elegidos como el mayor o el menor de entre dos dados que han sido lanzados por los jugadores, dependiendo respectivamente de si la habilidad empleada es alta o baja. En esta entrada voy a contaros como plantear cuentas que den resultados numéricos que podamos comparar para sacar conclusiones sobre nuestro juego o que nos sirvan para mejorar el sistema.
Lo primero que necesitamos es tener en mente dos imágenes que aparecían en el post anterior. Una es la del conjunto de posibles tiradas que se obtienen al lanzar dos dados y la otra es la del histograma de esas tiradas si las agrupamos según los resultados de quedarnos con el mayor de los dos dados obtenidos.
Voy a centrarme en analizar el caso para el embudo del máximo, ya que la explicación para el mínimo es exactamente igual. Cuando llegue el momento de comparar máximos con mínimos podrás asumir que los resultados son simétricos respecto a los valores posibles obtenidos, es decir, lo que se cumple para el 1 en uno de los casos, se cumple para el 6 en el otro, lo que se cumple para el 2, se cumple en el 5 y con el 3, se cumple con el 4.
Resultados repetidos… ¿o no?
Hay un problema que suele presentarse a mucha gente que no está acostumbrada a la hora de tratar con combinaciones. Si nos fijamos bien en las columnas formadas para el histograma apilando los dados veremos que hay resultados aparentemente repetidos.
Fíjate en la columna del 2. Tenemos el resultado 2-2, el resultado 1-2 y el resultado 2-1. ¿No son lo mismo 1-2 y 2-1? Al fin y al cabo, ¡es obtener un uno y un dos! Lo cierto es que no son lo mismo. Por eso uso colores diferentes al mostrar tiradas de varios dados.
La confusión suele partir de confundir el conjunto de posibles resultados de tirar los dados con el resultado tras aplicar un embudo (o función). Si pensamos en sumar los dados, 2-1 y 1-2 son lo mismo a efectos del resultado, pero a efectos de probabilidades nos dice que hay dos combinaciones diferentes que dan el mismo resultado.
Los números
Visualmente se observa claramente que el resultado 6 al final es muy frecuente respecto al resultado 1. De hecho, es 11 veces más frecuente. ¿Cuántas veces es más frecuente el 5 que el 3? Basta con contar cuantas veces sale el 5 y dividirlo entre cuantas veces sale el 3. En este caso es 9/5 (casi dos), por lo que podemos decir que el cinco sale casi el doble de veces que el tres. De esta manera podemos comparar ciertos resultados con otros. Si vemos el histograma del máximo como con un espejo vertical, tendremos la distribución para el mínimo, es decir, una distribución con 11 elementos en el resultado del 1, 9 en el del 2, etc., hasta tener sólo una combinación posible para obtener un 6. Con un embudo de mínimo tenemos que es 11 veces más frecuente obtener un 1 que obtener un 6.
¿Qué es la frecuencia?
Al hablar de ‘más frecuente’ y ‘menos frecuente’ es obligatorio definir la frecuencia en el contexto de la combinatoria. La frecuencia de cualquier suceso en el que intervenga algo aleatorio está relacionada con la esperanza, esto es, con el valor que uno esperaría que resultase antes de que se de el suceso.
Imagina un dado con 100 caras en el que 99 valen 0 y una sola vale 1. Si lanzas el dado, ¿qué esperas? Bueno, pues la respuesta intuitiva es que la inmensa mayoría de las veces esperaremos obtener un cero. ¿Cuánto es ‘la inmensa mayoría de las veces’? Pues 99 veces de 100. ¿Sería posible obtener 10 unos seguidos? Sí, es posible, ya que uno de los posibles resultados es ese uno, pero convendrás conmigo en que no es algo esperable. Ya tenemos los ingredientes para definir la frecuencia:
¿Cómo calculamos la frecuencia?
Es muy sencillo. Tras definir nuestro embudo tendremos diferentes posibles resultados (del 1 al 6 en el caso del máximo y del mínimo de dos dados). También tendremos un total de posibles resultados de las tiradas, que son 36 en el caso de dos dados de seis caras. Si agrupamos todas las posibles tiradas dentro de cada uno de los resultados que arrojan tras aplicar el embudo, tendremos el histograma. La frecuencia de cada resultado es el resultado de dividir la cantidad de elementos dentro de cada columna entre el total de posibles resultados.
De esta manera, para el máximo se obtiene:
- La frecuencia del resultado 1 es de 1 entre 36
- La frecuencia del resultado 2 es de 3 entre 36
- La frecuencia del resultado 3 es de 5 entre 36
- La frecuencia del resultado 4 es de 7 entre 36
- La frecuencia del resultado 5 es de 9 entre 36
- La frecuencia del resultado 6 es de 11 entre 36
Si lo hacemos para el mínimo, se obtiene el simétrico respecto a los resultados:
- La frecuencia del resultado 1 es de 11 entre 36
- La frecuencia del resultado 2 es de 9 entre 36
- La frecuencia del resultado 3 es de 7 entre 36
- La frecuencia del resultado 4 es de 5 entre 36
- La frecuencia del resultado 5 es de 3 entre 36
- La frecuencia del resultado 6 es de 1 entre 36
¿Para qué sirve el valor de frecuencia?
Este número nos va a permitir comparar resultados o conjuntos de resultados de manera que podamos diseñar nuestro juego para que lo que esperamos que suceda tenga una correspondencia estadística. En las especificaciones del juego se hablaba de que “se espera que un ataque alto venza a una defensa baja” por ejemplo. Pues gracias a la definición de la frecuencia tras todo este análisis ya puedes casar algo verbalizado, como una necesidad de nuestro juego o una decisión de diseño, con algo numérico que puedes calcular, modelar y elegir a tu antojo con las herramientas que te estoy dando.
En la siguiente entrega pondré ejemplos de combate comparando tiradas reales y comparando sus valores de frecuencia para que contrastemos que la elección del embudo y la cantidad de dados son adecuados.
